Thực đơn
Giai thừa Các khái niệm tương tựBài chi tiết: Giai thừa nguyên tố
Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:
2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:
Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.
n ! ! = { 1 , khi n <= 1 ; n ( n − 2 ) ! ! khi n ≥ 2. {\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{khi }}n<=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{khi }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}Ví dụ:
8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 3849!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
n!! | 1 | 1 | 2 | 3 | 8 | 15 | 48 | 105 | 384 | 945 | 3840 |
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:
( n − 2 ) ! ! = n ! ! n {\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là
1, -1, 1/3, -1/15...Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.
Một vài đẳng thức với giai thừa kép:
n ! = n ! ! ( n − 1 ) ! ! {\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,} ( 2 n ) ! ! = 2 n n ! {\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,} ( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! {\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.
Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)....
Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau
n ! ( k ) = { 1 , khi 0 ≤ n < k ; n ( n − k ) ! ( k ) , khi n ≥ k . {\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{khi }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là
s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 {\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}Tổng quát
s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1 . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 trong bảng OEIS)Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):
1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là
m f ( n , m ) = m f ( n − 1 , m ) m f ( n , m − 1 ) = ∏ k = 1 n k ( n − k + m − 1 n − k ) {\displaystyle \mathrm {mf} (n,m)=\mathrm {mf} (n-1,m)\mathrm {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}}trong đó m f ( n , 0 ) = n {\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n} for n > 0 {\displaystyle n>0} and m f ( 0 , m ) = 1 {\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1} .
Thực đơn
Giai thừa Các khái niệm tương tựLiên quan
Giai Giai cấp công nhân Giai đoạn vòng loại và play-off UEFA Champions League 2018–19 Giai thừa Giai thoại về Hong Gil Dong Giai đoạn vòng loại và vòng play-off UEFA Champions League 2022-23 Giai đoạn vòng loại và vòng play-off UEFA Champions League 2020–21 Giai cấp tư sản Giai cấp Giai đoạn vòng loại và play-off UEFA Europa League 2018–19 (Nhóm chính)Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Giai thừa http://www.britannica.com/EBchecked/topic/200040 http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html http://www.elektro-energetika.cz/calculations/fakt... http://d-nb.info/gnd/4153607-1 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=... http://planetmath.org/Factorial http://bachkhoatoanthu.vass.gov.vn/noidung/tudien/...